Distance en variation \(d_{\text{var} }\)
Distance entre deux
Mesure de probabilités définie par : $$d_{\text{var} }:(\mu_1,\mu_2)\mapsto2\sup_{A\in\mathcal A}\lvert\mu_1(A)-\mu_2(A)\rvert$$
- si \(\mu_1,\mu_2\) sont absolument continues par rapport à \(\mu\), alors on a l'expression : $$d_{\text{var} }(\mu_1,\mu_2)=\int_\Omega\left|\frac{d\mu_1}{d\mu}(\omega)-\frac{d\mu_2}{d\mu}(\omega)\right|\mu(d\omega)$$avec les Dérivée de Radon-Nikodym
- en particulier, en prenant la Mesure de comptage sur \({\Bbb N}\), on a : $$d_{\text{var} }(\mu_1,\mu_2)=\sum_{n=0}^{+\infty}\,\lvert \mu_1(n)-\mu_2(n)\rvert$$
- on a la majoration : $$d_\text{var}(\mu_1,\mu_2)\leqslant2{\Bbb P}(X_1\ne X_2)$$ avec \((X_1,X_2)\) un Couplage de \(\mu_1\) et \(\mu_2\)
- en particulier si \(\mu_1=\mathcal{Pois}(\lambda_1)\) et \(\mu_2=\mathcal{Pois}(\lambda_2)\), alors on a \(d_\text{var}(\mu_1,\mu_2)\leqslant\) \(2\lvert\lambda_1-\lambda_2\rvert\)
